NYU - Extended Bridge to CS  - Homework 7 - Solved

Question 1: 

a.       Implement a              function:             

int printMonthCalender(int numOfDays, int startingDay)                         

This               function              is             given     two        parameters:                       

•       numOfDays     -              The        number               of            days      in            the         month                  

•       startingDay               –             a              number               1-7         that        represents          the         day        in                the         week     of            the         first       day        in            that        month  (1           for          Monday,                2             for          Tuesday,             3             for          Wednesday,       etc.).                                      

        

The                function              should: 

•       Print     a              formatted           monthly              calendar              of            that        month  

•       Return a              number               1-7         that        represents          the         day        in            the         week     of                the         last       day        in            that        month. 

Formatting Notes:                   

•       The        output  should  include a              header  line        with      the         days’     names.                 

•       Columns             should  be           spaced  by           a              Tab.                       

                

Example:    when    calling  printMonthCalender(31, 4)it    should  return   6,            and        should  print:                        

               Mon Tue Wed Thr Fri Sat Sun 

                         1    2    3    4 

          5    6    7    8    9     10 11 

                 12 13 14 15 16 17 18 

                 19 20 21 22 23 24 25 

                26 27 28 29 30 31 

 

b.       A     method                for          determining      if             a              year       is             a              leap       year       in            the        Gregorian           calendar              system is             to            check    if             it             is             divisible              by        4             but         not         by           100,       unless   it             is             also        divisible              by           400.               

For example,             1896,    1904,    and        2000     were     leap       years     but         1900     was        not.                

Write            a              function              that        takes     in            a              year       as            input     and        return   true        if             the         year       is             a              leap       year,      return   false      otherwise.          

Note:            background       on           leap       year       https://en.wikipedia.org/wiki/Leap_year                         

        

c.        Implement a              function:             

void printYearCalender(int year, int startingDay)                        

This               function              is             given     two        parameters:                       

•       year    –             an           integer that        represents          a              year       (e.g.       2016)                   

•       startingDay               –             a              number               1-7         that        represents          the         day        in                the         week     of            1/1        in            that        year       (1           for          Monday,              2             for                Tuesday,             3             for          Wednesday,       etc.).                                      

        

The                function              should  use         the         functions            from     sections               (a)          and        (b)        in            order    to            print      a              formatted           yearly   calendar              of            that        year.      

                        

Formatting Note:     As           the         header  for          each      month  you        should  print      the         months’        name    followed             by           the         year       (e.g.       March   2016).                  

        

Example:    Appendix            A             shows   the         expected             output  of            the         call        printYearCalender(2016, 5).   

        

d.       Write            program              that        interacts              with      the         user       and        your      function              in        (c).          

                

 

                 

Question 2: 

Consider the following definitions:

a.       A proper divisors of a positive integer (≥ 2) is any of its divisors excluding the number itself. For example, the proper divisors of 10 are: 1, 2 and 5.

b.       A perfect number is a positive           integer (≥ 2) that is equal to the sum of its proper divisors. For example, 6 and 28 are perfect numbers, since:

6 = 1 + 2 + 3

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

Background of perfect numbers: https://en.wikipedia.org/wiki/Perfect_number 
c. Amicable numbers are two different positive integer (≥ 2), so related that the sum of the proper divisors of each is equal to the other number. For example, 220 and 284 are amicable numbers, since:

284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110

 

 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142

 

 

Background of amicable numbers: https://en.wikipedia.org/wiki/Amicable_numbers

 

 

a.       Write a function:

void analyzeDividors(int num, int& outCountDivs, int& outSumDivs)        

The function takes as an input a positive integer num (≥ 2), and updates two output parameters with the number of num's proper divisors and their sum.  

For example, if this function is called with num=12, since 1, 2, 3, 4 and 6 are 12s proper divisors, the function would update the output parameters with the numbers 5 and 16. Note: Pay attention to the running time of your function. An efficient implementation would run in Θ"√𝑛𝑢𝑚’. 

 

b.       Use the function you wrote in section (a), to implement the function: bool isPerfect(int num)

This functions is given positive integer num (≥ 2), and determines if it is perfect number or not.

 

c.       Use the functions you implemented in sections (a) and (b), to write a program that reads from the user a positive integer M (≥ 2), and prints:

•       All the perfect numbers between 2 and M.

•       All pairs of amicable numbers that are between 2 and M (both numbers must be in the range).  

Note: Pay attention to the running time of your implementation. An efficient algorithm for this part would call analyzeDividors Θ(𝑀) times all together.

 

  

 

 

                 

Question 3: 

a.       Solve             Exercise              8.2.2,     section b             from     the         Discrete               Math     zyBook.               

b.       Solve             Exercise              8.3.5,     sections               a-e          from     the         Discrete               Math     zyBook 

  

Question 4: 

Solve     the         following            questions            from     the         Discrete               Math zyBook:               a) Exercise 5.1.2, sections b, c

b)     Exercise      5.3.2,     section a              

c)      Exercise      5.3.3,     sections               b,            c              

d)     Exercise      5.2.3,     sections               a,             b             

                                

Question 5:         

Solve     the         following            questions            from     the         Discrete               Math zyBook:               a) Exercise         5.4.2,     sections               a,             b             

b)     Exercise      5.5.3,     sections               a-g          

c)      Exercise      5.5.5,     section a              

d)     Exercise      5.5.8,     sections               c-f          

e)      Exercise      5.6.6,     sections               a,             b             

                                

Question 6:         

Solve     the         following            questions            from     the         Discrete               Math zyBook:               a) Exercise         5.7.2,     sections               a,             b             

b) Exercise        5.8.4,     sections               a,             b             

                                

Question 7: 

How many one-to-one functions are there from a set with five elements to sets with the following number of elements?

 

a)  4  

b)  5  

c)  6  

d)  7  

 

            

Appendix A. 

The expected output of the call printYearCalender(2016, 5) is: 

 

          January 2016 

               Mon Tue Wed Thr Fri Sat Sun 

                              1    2    3     

                                4    5    6    7    8    9    10  

11 12 13 14 15 16 17  

18 19 20 21 22 23 24  

25 26 27 28 29 30 31 

 

          February 2016 

               Mon Tue Wed Thr Fri Sat Sun                       

                                1    2    3    4    5    6    7     

8        9    10 11 12 13 14  

15 16 17 18 19 20 21  

22 23 24 25 26 27 28  

29  

 

          March 2016 

               Mon Tue Wed Thr Fri Sat Sun                       

1        2    3    4    5    6     

                                7    8    9        10 11 12 13  

14 15 16 17 18 19 20  

21 22 23 24 25 26 27  

28 29 30 31  

 

          April 2016 

               Mon Tue Wed Thr Fri Sat Sun                       

1    2    3     4   5    6  7    8    9    10  

11 12 13 14 15 16 17  

18 19 20 21 22 23 24  

25 26 27 28 29 30  

 

          May 2016 

               Mon Tue Wed Thr Fri Sat Sun                       

1     2   3    4  5    6    7    8     

9        10 11 12 13 14 15  

16 17 18 19 20 21 22  

23 24 25 26 27 28 29  

30 31  

 

                 

          June 2016 

               Mon Tue Wed Thr Fri Sat Sun 

                    1    2    3    4    5     

                                6    7    8    9       10 11 12  

13 14 15 16 17 18 19  

20 21 22 23 24 25 26  

27 28 29 30 

 

          July 2016 

               Mon Tue Wed Thr Fri Sat Sun                       

1    2    3     4   5    6  7    8    9    10  

11 12 13 14 15 16 17  

18 19 20 21 22 23 24  

25 26 27 28 29 30 31  

 

          August 2016 

               Mon Tue Wed Thr Fri Sat Sun                       

                                1    2    3    4    5    6    7     

                                8    9         10 11 12 13 14  

15 16 17 18 19 20 21  

22 23 24 25 26 27 28  

29 30 31  

 

          September 2016 

               Mon Tue Wed Thr Fri Sat Sun                       

1    2    3    4     5   6    7  8    9    10 11  

12 13 14 15 16 17 18  

19 20 21 22 23 24 25  

26 27 28 29 30  

 

          October 2016 

               Mon Tue Wed Thr Fri Sat Sun                       

1    2     3   4    5  6    7    8    9     

10      11 12 13 14 15 16  

17 18 19 20 21 22 23  

24 25 26 27 28 29 30  

31  

 

           

                 

November 2016 

               Mon Tue Wed Thr Fri Sat Sun                       

1        2    3    4    5    6     

                                7    8    9        10 11 12 13  

14 15 16 17 18 19 20  

21 22 23 24 25 26 27  

28 29 30  

 

          December 2016 

               Mon Tue Wed Thr Fri Sat Sun                       

1    2    3    4     5   6    7  8    9    10 11  

12 13 14 15 16 17 18  

19 20 21 22 23 24 25  

26 27 28 29 30 31